Лабораторная работа №1*
Изучение законов вращательного движения
с помощью маятника Обербека
Цель работы: изучить характеристики вращательного
движения твёрдого тела. Определить момент инерции маятника
Обербека и проверить справедливость основного закона динамики
вращательного движения для абсолютно твердого тела.
Оборудование: маятник Обербека, набор грузов,
измерительная линейка, секундомер.
Вопросы входного контроля
1. Какое движение называют поступательным?
2. Перечислите величины, характеризующие механическое
движение (пройденный путь, скорость, ускорение).
3. Как найти перемещение тела при равноускоренном
прямолинейном движении.
4. Сформулируйте законы Ньютона.
5. Как связаны между собой линейная и угловая скорость?
6. Что называется плечом силы и моментом силы?
Краткая теория
Абсолютно твёрдым телом называют тело, расстояние между
любыми двумя точками которого в условиях данной задачи можно
считать постоянным. Иначе говоря, это тело, форма и размеры
которого не изменяются при его движении. Всякое твёрдое тело
можно мысленно разбить на большое число частей, сколь угодно
малых по сравнению с размерами всего тела, и рассматривать его
как систему (совокупность) материальных точек, жёстко
связанных друг с другом.
Поступательным называется движение, при котором любая
прямая, проведенная в теле, остаётся параллельной самой себе.
При поступательном движении все точки тела совершают за один
и тот же промежуток времени равные по величине и направлению
перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в
каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому
достаточно определить движение одной из точек тела для того,
чтобы охарактеризовать движение всего тела.
2
Характеристики механического движения
Основными характеристиками поступательного движения
являются: перемещение 𝑆
, время движения t, скорость
= d𝑆
/dt,
ускорение 𝑎
= d𝜐/dt, относительность движения.
Простейшим случаем вращательного движения является
вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. При этом все
точки тела описывают окружности, центры которых лежат на
одной прямой, являющейся осью вращения. Окружности,
описываемые точками, находятся в плоскостях,
перпендикулярных оси вращения (рис. 1). Ось вращения может
находиться как внутри тела, так и вне его.
Рис. 1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Каждая точка вращающегося вокруг выбранной оси тела
движется по окружности (рис. 2), и различные точки проходят за
время t разные пути. Так например, длина дуги АА1 больше длины
дуги ВВ1, поэтому модуль скорости точки А, движущейся по
окружности радиусом ОА больше, чем у точки В, движущейся по
окружности радиусом ОВ (рис. 2). Но радиусы окружностей
поворачиваются за это время t на один и тот же угол φ. Угол φ –
угол между осью ОХ и радиус-вектором 𝑟, определяющим
положение выбранной точки называется углом поворота.
3
Рис. 2. Вращение точки вокруг неподвижной оси.
Пусть тело вращается равномерно, т.е. за любые равные
промежутки времени поворачивается на одинаковые углы.
Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора,
определяющего положение одной из точек твердого тела за данный
промежуток времени. Например, если одно тело за каждую секунду
поворачивается на угол π/2, а другое – на угол π/4, то мы говорим,
что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Эта быстрота вращения характеризуется угловой
скоростью 𝜔
. При равномерном вращении это величина равна
отношению угла поворота тела Δφ к промежутку времени Δt, за
который этот поворот произошел: ω = Δφ/ Δt. Единица измерения
[ω] = 1 рад/с.
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения ν
(греческая буква «ню»), т. е. число полных оборотов за 1 с. Если
тело совершает ν оборотов за 1 с, то время одного оборота равно
1/ν секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают
буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом
вращения можно представить в виде: T=1/ν.
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью
(ω=const), то = (
–
0)/t, отсюда
=
0 + t. Угловую скорость
можно выразить следующим образом: ω = 2
/T = 2
·ν.
Скорость материальной точки, движущейся по окружности,
часто называют линейной скоростью υ, чтобы подчеркнуть ее
отличие от угловой скорости. Мы уже отмечали, что при вращении
твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные
скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. Между
4
линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его
угловой скоростью существует связь. Точка, лежащая на
окружности радиусом r, за один оборот пройдет путь 2
r.
Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль
линейной скорости точки можно найти так: υ = 2πr/T, так как ω =
2
/T, то υ = ωr.
При изменении угловой скорости вводят понятие углового
ускорения:
, [
] = 1 рад/с2.
Угловое ускорение связано с тангенциальным (касательным)
ускорением:
Т.к.
= 𝑟, то .
Момент силы и момент инерции
Чтобы твёрдое тело с закреплённой осью привести во
вращательное движение, необходимо хотя бы к одной из его точек
приложить внешнюю силу 𝐹
, не проходящую через ось вращения
и непараллельную ей, другими словами, чтобы эта сила создавала
момент силы 𝑀
.
Пусть сила 𝐹
лежит в плоскости, перпендикулярной к оси
вращения O (рис. 3). 𝑟 – радиус-вектор точки приложения силы
относительно оси вращения; d – кратчайшее расстояние от оси
вращения до линии действия силы, называемое плечом силы.
Векторная величина, численно равная произведению силы на
плечо, называется моментом силы 𝑀
относительно оси вращения. В
скалярной форме M = F d. Единица измерения [М] = 1 Н·м (ньютон-метр).
Рис. 3. Вращение тела вокруг неподвижной оси О.
dt/d
→→ =
.
dt
d
a
=
r
dt
d
r
dt
)r(d
a==
=
5
Направление 𝑀
совпадает с направлением поступательного
движения винта при его вращении от 𝑟 к 𝐹
(в нашем примере вдоль
оси вращения «от нас»).
Моментом инерции J материальной точки относительно
некоторой оси называется скалярная величина, равная
произведению массы материальной точки mi на квадрат
расстояния ri от этой точки до оси вращения J = mi · ri2
Рассмотрим движение материальной точки А с массой m по
окружности радиусом r (рис. 4). Пусть на точку А массой m
действует сила , лежащая в плоскости, перпендикулярной оси
вращения О. Тогда точка приобретает постоянное тангенциальное
ускорение aτ, определяемое тангенциальной составляющей силы 𝐹
τ.
Рис. 4. Движение материальной точки А по окружности.
F
= F·sin
= m·aτ
Так как aτ = r·
. Предыдущее равенство можно записать
следующим образом: F·sin
= m·r·
.
Умножив правую и левую часть этого равенства на r,
получим:
F·r·sin
= m·r2·
или M =J·
,
где М = F·r·sin
, J = m·r2 – момент инерции материальной точки А
массой m относительно оси О, отсюда:
M
J
=
.
→
F
6
Зависимость является вторым законом Ньютона для
вращательного движения и называется основным уравнением
динамики вращательного движения. Это же выражение
справедливо и для характеристики вращательного движения
твердого тела с учетом того, что J – момент инерции тела,
характеризующий его инерционное свойство во вращательном
движении относительно какой-либо оси. Для определения
момента инерции твердого тела необходимо разбить это тело на
бесконечно малые элементы с массой mi, найти моменты инерции
каждого элемента и просуммировать их. Каждый элемент можно
приближенно принять за материальную точку c моментом
инерции Ji = mi·ri2, тогда момент инерции всего тела будет равен:
==
=
→
→
m
i
n
ii
n
mi dmrrmJ
0
22
1
0
lim
Учитывая, что dm = ρ dV, где ρ – плотность вещества в объёме
dV и тело однородно, т.е. его плотность ρ одинакова по всему
объёму, то формулу можно записать в виде
dVrJ
V
=2
Момент инерции относительно оси вращения характеризует
инертность тела при вращении вокруг этой оси, т.е. является
величиной, аналогичной массе тела, которая является мерой
инертности тела при его поступательном движении.
Рис. 5. Сплошной однородный диск (цилиндр).
Используя полученную формулу, можно рассчитать
моменты инерции однородных тел правильной геометрической
формы. В качестве примера рассчитаем момент инерции
сплошного однородного диска (цилиндра) относительно оси (рис.
5), перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его
JM/
→→ =
R
r
dr
b
О
О'
7
центр масс. Разобьём диск на кольцевые слои толщиной dr. Объём
такого слоя равен dV = b·2π·r·dr, где b – толщина диска. Подставим
выражение для dV в уравнение
dVrJ
V
=2
, вынося постоянные
за знак интеграла, получим:
==
RR
bdrrbJ
0
4
3
2
2
.
Учитывая, что произведение плотности диска ρ на его объём
π·R2·b равно массе диска m, получим:
2
2
mR
J=
.
Рассчитаем момент инерции однородного тонкого стержня
длиной l и массой m, когда ось вращения ОО проходит через его
середину (рис. 6).
Рис. 6. Тонкий однородный стержень с осью вращения в
середине.
На расстоянии х от оси вращения выделяем малый участок
стержня длиной dx масса этого участка равна dm, тогда момент
инерции dJ для этого участка запишется в виде:
.
Для определения dm введем линейную плотность, как ,
тогда , (будем читать, что толщина тонкого стержня
много меньше, чем его длина, тогда dV = dx), а момент инерции
.
Момент инерции для всего стержня запишется в виде:
dmxdJ 2
=
l
m
dx
l
m
dm =
dxx
l
m
dx
l
m
xdJ 22 ==
8
3
222
22
2
22
3
lll
l
ll
m m m x
J x dx x dx
l l l −
−−
= = = =
33 33 2
1
3 2 2 3 8 8 12
m l l m l l ml
ll
= − − = + =
Если ось вращения тела О1О1 параллельна оси симметрии
ОО, но смещена от нее на расстояние d, то момент инерции J,
относительно новой оси О1О1 определяется по теореме
Штейнера:
,
где J0 – момент инерции тела относительно оси симметрии.
Рассчитаем момент инерции для однородного тонкого
стержня длиной l и массой m, когда ось вращения проходит
перпендикулярно к стержню через его конец (рис. 7).
; тогда .
Рис. 7. Тонкий однородный стержень с осью вращения на конце.
Аналогично можно показать, что для других однородных тел
геометрически правильной формы массой m относительно оси
симметрии момент инерции рассчитывается по формулам,
представленным на рисунке 8. Для тел геометрически
неправильной формы момент инерции определяется
экспериментальным путем.
2
0mdJJ +=
2
;
12
12
0l
dmlJ==
2
2
2
3
1
412
1mlm
l
mlJo=+=
9
Рис. 8. Моменты инерции некоторых тел.
Маятник Обербека
Изучение законов вращательного движения в лабораторной
работе производится с помощью маятника Обербека, который
представляет собой крестовину, состоящую из 4-х стержней
каждый длиной l/2, прикрепленных к втулке с осью (рис. 9).
На стержнях фиксируются грузы массой m1, которые могут
быть закреплены симметрично на различных расстояниях от оси
вращения. На шкив радиусом r, находящийся на оси вращения,
наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется
груз Р.
Если предоставить грузу Р возможность двигаться, то это
падение будет происходить с ускорением а. При этом шкив со
стержнями и расположенными на них грузами будет вращаться с
угловым ускорением
, которое можно найти, измерив высоту h и
время падения груза t.
2
2
at
h
=
;
2
2h
at
=
;
2
2ah
r r t
==
,
где r – радиус шкива, на который наматывается нить.
10
Рис. 9. Схема маятника Обербека.
Силой, создающей вращающий момент, является сила
натяжения нити Т. Запишем второй закон Ньютона для
движущегося груза:
mg T ma+=
, проецируя на ось ОХ имеем:
mg – Т = ma, откуда T = P – ma = mg – ma = m·(g – a).
Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и
нерастяжимой, вращающий момент маятника можем рассчитать
по формуле:
M = T·r = m·(g – a)·r
Момент инерции маятника может быть определен из
основного уравнения динамики вращательного движения: J=M/
.
11
Подставляя в данную формулу значение вращающего
момента 𝑀
и углового ускорения ε получим окончательное
выражение для расчета момента инерции маятника Обербека,
определенного практически (экспериментально):
( )
( )
22 22
22 2
22
2 2 2
практ
h
m g r t m g t h r
m g a r t
Mt
jh h h
−
−
−
= = = =
.
С другой стороны, теоретически, момент инерции маятника
может быть найден из формулы:
4
теор кр гр
J J J=+
,
где Jкр – момент инерции крестовины, Jгр – момент инерции груза
относительно оси вращения, моментом инерции цилиндра радиуса
r пренебрегаем.
Считая груз материальной точкой массой m1, его момент
инерции можно найти по формуле:
2
1гр
J m R=
,
где R – расстояние от оси вращения до центра масс груза.
Тогда момент инерции крестовины теоретически
определяется по формуле:
2
2
1
212
кр
J m l=
где m2 – масса «двойного» стержня, l – его длина.
Таким образом теоретический момент инерции маятника
Обербека находим по следующей формуле:
22
21
14
6
теор
J m l m R= +
.
Порядок выполнения работы
1. Грузы m1 на маятнике Обербека (крестовине)
закреплены на некотором одинаковом расстоянии R от оси
вращения (рис. 9).
2. Измерить расстояние R от центра оси вращения до центра
масс груза m1.
3. Намотать нить на шкив крестовины и последнюю
придерживать рукой.
12
4. Аккуратно подвесить к нити груз массой m (200 г., 300 г.)
и совместить нижнюю часть груза с верхней меткой на стене.
5. Дать возможность грузу массой m свободно опускаться
под действием силы тяжести, не придавая ему начальную
скорость. Измерить время движения t груза на расстоянии h = 0,5
м от верхней до нижней метки на стене.
6. Результаты измерений занести в таблицу 1.
7. Измерения провести при двух различных грузах массой m
по 3 раза с каждым при h=const.
8. По формулам (1), (2) (см. ниже) по средним значениям
t
вычислить линейное ускорение a, угловое ускорение
,
вращающий момент M, действующий на маятник:
r
a
t
h
a==
;
2
2
, (1)
где r – радиус шкива, на который наматывается нить.
ragmM −= )(
. (2)
9. По формуле (3) высчитать момент инерции, найденный
практически:
M
Jпракт =
. (3)
10. Вычислить теоретический момент инерции Jтеор по
формуле (4) и сравнить с результатом Jпракт, полученным в пункте 9.
2
1
2
24
6
1RmlmJтеор +=
. (4)
11. Сделайте выводы сравнивая Jпракт, найденный из
основного уравнения динамики вращательного движения, с его
теоретическим значением Jтеор, найденным по теореме Штейнера.
В работе проверяется справедливость основного уравнения
динамики вращательного движения и умение определять момент
инерции.
12. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (5) и
относительную погрешность по формуле (6) каждого из двух
измерений (с m = 0,2 кг, и m = 0,3 кг).
13
Вычисление погрешностей
1) Абсолютная погрешность измерения практического
значения момента инерции маятника Обербека:
+= h
h
t
t
h
tmgr
Jпракт 2
2
2
, (5)
где
3
321 tttttt
t−+−+−
=
.
2) Относительная погрешность измерения практического
значения момента инерции маятника Обербека:
100%
практ
практ
J
практ
J
J
=
. (6)
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
№
R
(м)
m
(кг)
t
(с)
а
(м/с2)
ε
(рад/с2)
M
(Н·м)
Jпракт
(кг·м2)
Jтеор
(кг·м2)
1
0,2
2
3
Cр.
=
1
0,3
2
3
Ср.
=
Некоторые характеристики маятника Обербека:
m1 = 0,154 кг – масса каждого груза на стержне;
m2 = 0,184 кг – масса каждого из 2-х стержней;
l = 0,52 м – длина стержня; r = 0,01 м – радиус шкива;
g = 9,8 м/с2; h = 0,5 м;
h = 0,01м.
Контрольные вопросы
1. Основные величины, характеризующие вращательное
движение. Связь между ними.
2. Момент инерции материальной точки и твердого тела.
t
t
14
3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
4. Сформулируйте теорему Штейнера.
5. Расчётные формулы практического и теоретического
момента инерции маятника Обербека с пояснительным рисунком.
Задачи
1. Применяемая в медицине центрифуга состоит из
металлического ротора и прикрепленных к нему цилиндров для
пробирок. Цилиндры закреплены шарнирно и при вращении
ротора занимают почти горизонтальное положение. Более
тяжелые частицы, находящиеся в пробирке, например, форменные
элементы крови, осаждаются при этом на дне пробирок. Для ряда
других исследований, например для отделения белков в
коллоидном состоянии, применяют ультрацентрифугу (с большей
скоростью вращения). Определить угловую ω и линейную υ
скорости вращения ультрацентрифуги, если за t = 1 мин она
совершает n = 6000 оборотов, а радиус вращения равен r = 20 см.
2. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня
длиной l = 60 см и массой m = 100 г относительно оси,
перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня,
удаленную на d = 20 см от одного из его концов.
3. Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг·м2 вращается с
угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения М,
под действием которого маховик останавливается через время
t = 20 c. Маховик считать однородным диском.
Рекомендуемая литература
1. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика
[Электронный ресурс]: учебник - 4-е изд., испр. и перераб. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2013. - ISBN 978-5-9704-2484-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970424841-0008.html
[Глава 5, Раздел 9/43, C. 1-13, Глава 6, Раздел 10/43, C. 1-9].
2. Эйдельман Е.Д. Физика с элементами биофизики
[Электронный ресурс]: учебник - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2013. -
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970425244-
SCN0004/008.html [Глава 2, Раздел 5/26,С. 9-16].
